在積分篇里，我們一直在跟電場(chǎng)、磁場(chǎng)的通量打交道。我們?nèi)我猱?huà)一個(gè)曲面，這個(gè)曲面可以是閉合的，也可以不是，然后我們讓電場(chǎng)線、磁感線穿過(guò)這些曲面，它們就兩兩結(jié)合形成了四個(gè)積分形式的方程組。從這里我們能感覺(jué)到：麥克斯韋方程組的積分形式是從宏觀角度來(lái)描述問(wèn)題，這些曲面都是宏觀可見(jiàn)的東西。那么微分形式呢？微分形式似乎應(yīng)該從微觀角度去看問(wèn)題，那么我們要怎樣把曲面、通量這些宏觀上的東西弄到微觀里來(lái)呢

一個(gè)很簡(jiǎn)單的想法就是：我讓宏觀上的東西縮小縮小，直到縮小成一個(gè)點(diǎn)，這樣不就進(jìn)入微觀了么？積分形式的麥克斯韋方程組需要選定一個(gè)曲面，但是它并沒(méi)有限定這個(gè)曲面的大小，我可以把這個(gè)曲面選得很大，也可以選得很小。當(dāng)你把這個(gè)曲面選得很小很小的時(shí)候，麥克斯韋方程組的積分形式就自然變成了微分形式。所以，微分形式的基本思想還是很簡(jiǎn)單的，它真正麻煩的地方是在于如何尋找一種方便的計(jì)算方式，這些我后面會(huì)細(xì)說(shuō)。好，下面進(jìn)入正題。麥克斯韋方程組總共有四個(gè)方程，分別描述了靜電（高斯電場(chǎng)定律）、靜磁（高斯磁場(chǎng)定律）、磁生電（法拉第定律）、電生磁（安培-麥克斯韋定律）。這四個(gè)方程各有積分和微分兩種形式，積分形式我們上篇已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，微分形式我們還是按照順序，也從靜電開(kāi)始。
01微分形式的靜電在積分篇里，我們是這樣描述靜電的：在空間里任意畫(huà)一個(gè)閉合曲面，那么通過(guò)閉合曲面的電場(chǎng)線的數(shù)量（電通量）就跟這個(gè)曲面包含的電荷量成正比。用公式表述就是這樣：

這就是積分形式的高斯電場(chǎng)定律：左邊表示通過(guò)閉合曲面S的電通量（E是電場(chǎng)強(qiáng)度，我們把面積為S的閉合曲面分割成許多小塊，每一個(gè)小塊用da表示，那么通過(guò)每一個(gè)小塊面積的電通量就可以寫(xiě)成E?da。套上一個(gè)積分符號(hào)就表示把所有小塊的電通量累加起來(lái)，這樣就得到了通過(guò)整個(gè)閉合曲面S的電通量），右邊那個(gè)帶了enc下標(biāo)的Q就表示閉合曲面包含的電荷量，ε0是個(gè)常數(shù)。下面是重點(diǎn)：因?yàn)檫@個(gè)閉合曲面S是可以任何選取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各種亂七八糟的閉合曲面。那么我們就不妨來(lái)學(xué)習(xí)一下孫悟空，變小變小再變小，我讓這個(gè)閉合曲面也一直縮小縮小，縮小到無(wú)窮小，那么這時(shí)候高斯電場(chǎng)定律會(huì)變成什么樣呢？這里會(huì)涉及一丟丟極限的概念，我們這樣考慮：一個(gè)閉合曲面縮小到無(wú)窮小，其實(shí)就是它的表面積或者體積無(wú)限趨向于0。也就是說(shuō)，我假設(shè)有一個(gè)球的體積為ΔV，然后讓這個(gè)ΔV無(wú)限趨近于0，那這樣就可以表示這個(gè)球縮小到無(wú)窮小了。用數(shù)學(xué)符號(hào)可以記成這樣：

Lim就是英文單詞極限（limit）的縮寫(xiě)，ΔV通過(guò)一個(gè)箭頭指向0可以很形象的表示它無(wú)限趨近于0。有了這個(gè)極限的概念，我們就可以很自然的表示通過(guò)這個(gè)無(wú)窮小曲面的電通量了（直接在電通量的前面加個(gè)極限符號(hào)），這時(shí)候高斯電場(chǎng)定律就成了這樣：

這樣，我們就把高斯電場(chǎng)定律從宏觀拉到了微觀：方程的左邊表示曲面縮小到無(wú)窮小時(shí)的電通量，方程的右邊表示無(wú)窮小曲面包含的電荷量。但是，當(dāng)曲面縮小到無(wú)窮小的時(shí)候，我們?cè)偈褂秒姾闪縌就不合適了，所以我們改用電荷密度（符號(hào)為ρ）。電荷密度，從名字里我們就能猜出它表示的是單位體積內(nèi)包含電荷量的大小，所以它的表達(dá)式應(yīng)該是用電荷量除以體積，即：ρ=Q/V。所以，如果我們把微觀的高斯電場(chǎng)定律左右兩邊都同時(shí)除以體積ΔV，那么右邊的電荷量Q除以體積Δ就變成了電荷密度ρ，左邊我們也再除以一個(gè)ΔV，那么公式就變成了下面這樣：

公式的右邊除以一個(gè)體積ΔV，就成了電荷密度ρ除以真空介電常數(shù)ε0，那左邊呢？左邊原來(lái)是通過(guò)無(wú)窮小曲面的電通量，這玩意除以一個(gè)體積ΔV之后表示什么呢？這一長(zhǎng)串的東西，我們給它取了個(gè)新名字：散度。也就是說(shuō)，電場(chǎng)E在一個(gè)點(diǎn)（被無(wú)窮小曲面圍著的這個(gè)點(diǎn)）上的散度被定義為電場(chǎng)通過(guò)這個(gè)無(wú)窮小曲面的電通量除以體積。散度的英文單詞是pergence，所以我們通常就用p(E)表示電場(chǎng)E的散度，即：

所以，高斯電場(chǎng)定律的微分形式就可以表示成這樣：

它告訴我們：電場(chǎng)在某點(diǎn)的散度跟該點(diǎn)的電荷密度成正比。然后呢？然后微分篇的第一個(gè)方程就這樣說(shuō)完了？這只不過(guò)把高斯電場(chǎng)定律積分形式的曲面縮小到了無(wú)窮小，然后兩邊同時(shí)除了一個(gè)體積，右邊湊出了一個(gè)電荷密度，左邊巴拉巴拉湊出一大堆東西你告訴我這個(gè)新東西叫散度就完事了？不帶這么玩的！那這個(gè)散度到底有什么物理意義？我要如何去計(jì)算具體的散度（你用無(wú)窮小通量去定義散度倒是好定義，但是這樣計(jì)算可就麻煩了）？還有，很多人多多少少知道一些麥克斯韋方程組的樣子，雖然不是很懂，那個(gè)倒三角符號(hào)?倒還是記得的，你這公式里為什么沒(méi)有?符號(hào)呢？
02初入江湖的?沒(méi)錯(cuò)，我們用無(wú)窮小曲面的通量和體積的比值來(lái)定義散度，這樣定義是為了突出它跟通量之間的聯(lián)系，也方便大家從積分的思維自然的轉(zhuǎn)化到微分的思維中來(lái)。但是，這種定義在具體計(jì)算的時(shí)候是沒(méi)什么用的，我們不會(huì)通過(guò)去計(jì)算無(wú)窮小曲面的通量和體積的比值來(lái)計(jì)算一個(gè)點(diǎn)的散度，因?yàn)檫@樣實(shí)在是太麻煩了。我們有種更簡(jiǎn)單的方式來(lái)計(jì)算電場(chǎng)在某個(gè)點(diǎn)的散度，而這種方法，就會(huì)使用到我們熟悉的倒三角?符號(hào)。在這種新的表示方法里，電場(chǎng)E的散度可以被寫(xiě)成這樣：??E，所以我們就可以用這個(gè)東西替換掉方程左邊p(E)，那么麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程??描述靜電的高斯電場(chǎng)定律的微分形式就可以寫(xiě)成這樣：

這樣寫(xiě)的話，是不是就感覺(jué)熟悉多了？也就是說(shuō)，同樣是為了表示散度，我們用??E代替了代替了原來(lái)無(wú)窮小曲面通量和體積比值那么一大串的東西。而且這樣還非常好計(jì)算，使用這種新的方式，你只要給出一個(gè)電場(chǎng)，我分分鐘就可以把電場(chǎng)的散度寫(xiě)出來(lái)。這種倒三角?符號(hào)，絕對(duì)是符號(hào)簡(jiǎn)化史上的奇跡。所以，我接下來(lái)的工作，或者說(shuō)理解麥克斯韋方程組的微分形式的核心內(nèi)容，就是要來(lái)告訴大家這個(gè)倒三角?符號(hào)到底是什么意思，??（后面加了一個(gè)點(diǎn)）又是什么意思？為什么??E可以表示電場(chǎng)E的散度就？為什么??E跟我們前面散度的定義p（E）是等價(jià)的？也就是說(shuō)：

為什么上面的式子是相等的，而且都可以用來(lái)表示電場(chǎng)E的散度？這就是我在開(kāi)篇說(shuō)的：微分形式的基本思想還是很簡(jiǎn)單的，它真正麻煩的地方在于如何尋找一種方便計(jì)算的方式，這種方便的計(jì)算方式自然就是?。那么我們接下來(lái)就先把電磁相關(guān)的物理內(nèi)容擱置一旁，先一起來(lái)看一看這個(gè)傳奇符號(hào)?的前世今生，理解了它，你就理解了麥克斯韋方程組的微分形式的精髓。
03從導(dǎo)數(shù)說(shuō)起要理解?，我們還是得先再來(lái)看一看這個(gè)衡量事物變化快慢的概念：導(dǎo)數(shù)。說(shuō)“再”是因?yàn)槲覀冊(cè)诜e分篇里已經(jīng)講過(guò)了：法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，發(fā)現(xiàn)變化的磁場(chǎng)能產(chǎn)生電場(chǎng)，而且磁場(chǎng)變化得越快，產(chǎn)生的電場(chǎng)越大。這里我們就需要這樣一個(gè)量來(lái)描述磁場(chǎng)變化的快慢，只不過(guò)當(dāng)時(shí)我們沒(méi)有展開(kāi)說(shuō)。我還是借用上篇身高的例子來(lái)看看我們是如何描述變化的快慢的。一個(gè)人在十二三歲的時(shí)候一年可以長(zhǎng)10厘米，我們說(shuō)他這時(shí)候長(zhǎng)得快；到了十七八歲的時(shí)候可能一年就只能長(zhǎng)1厘米，我們就說(shuō)他長(zhǎng)得慢。也就是說(shuō)，我們衡量一個(gè)量（這里就是身高，假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個(gè)變化的時(shí)間dt（比如一年，或者更小），看看這個(gè)量的變化Δy是多少，如果這個(gè)量的變化很大我們就說(shuō)它變化得很快，反之則變化得慢。在這里，我稍微解釋一下Δy和dy的區(qū)別：如下圖所示，我們假設(shè)函數(shù)在x軸上有一個(gè)增量Δx，這個(gè)用Δx或者dx表示都一樣，兩者相等。但是，這個(gè)在x軸上的變化帶來(lái)的y軸上的變化就不一樣了：Δy表示的是y軸實(shí)際的變化量，是我用前后兩個(gè)不同的x對(duì)應(yīng)的y值直接相減得到的真實(shí)結(jié)果；而dy則不是，dy是我們?cè)贛點(diǎn)做了一條切線，然后我用這條直線來(lái)代替曲線，當(dāng)x軸上變化了Δx的時(shí)候這條直線上對(duì)應(yīng)y上的變化。

從這個(gè)圖里我們可以看到：Δy的值是要比dy大一點(diǎn)點(diǎn)的，但是隨著Δx或者dx的減小，它們的之間的差值會(huì)急速減小，比Δx減小的快得多，這個(gè)差值也是我們常說(shuō)的高階無(wú)窮小。Δy叫做函數(shù)從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的增量，而dy則被叫做函數(shù)的微分，或者叫它的線性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是現(xiàn)代微積分的一個(gè)核心思想，從這個(gè)圖里可見(jiàn)一斑。

在微積分剛創(chuàng)立的時(shí)候，萊布尼茨把dx看作一個(gè)接近0但又不等于0的無(wú)窮小量，這種“樸素”的思維很符合直覺(jué)，而且用這種思想來(lái)計(jì)算也沒(méi)什么錯(cuò)，但是它的基礎(chǔ)是非常不牢固的。正是這種幽靈般的無(wú)窮小量dx（時(shí)而可以看作是0，時(shí)而可以當(dāng)除數(shù)約分）導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的搶救才給微積分找到了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的地基：極限理論。

（一）、麥克斯韋方程組公式及其物理意義

麥克斯韋方程組關(guān)于電磁波等的預(yù)言為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，證明了位移電流假設(shè)和電磁場(chǎng)理論的正確性。這個(gè)電磁場(chǎng)理論對(duì)電磁學(xué)、光學(xué)、材料科學(xué)以及通訊、廣播、電視等等的發(fā)展都產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響。它是物理學(xué)中繼牛頓力學(xué)之后的又一偉大成就。麥克斯韋方程組，是英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?克拉克?麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個(gè)方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定律...查看更多